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【数三大纲解读(18)】用武之地:常微分方程与差分方程

数学者2018-03-10 22:42:36

20170603,一起走过的第34天


   常微分方程是微积分、线性代数课程的精华应用,它几乎和微积分同步面世,并且帮我们认识了大量的自然科学和人文社科类问题;差分方程则是数三专享的考点,主要是因为在经济学相关专业课当中经常要碰到与之相关的问题。

    考试要求如下:

    1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念;

    2. 掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法;

    3. 解二阶常系数齐次线性微分方程;

    4. 了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程;

    5. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念;

    6. 了解一阶常系数线性差分方程的求解方法;

    7. 用微分方程求解简单的经济应用问题。


    微分方程的概念在我 常微分方程复习的 绪论章节中已经详细地给予介绍,极个别的属于超纲,大家可以过去看看,大概三分钟左右可以看完。

    可分离变量的微分方程的解法是这样掌握的:(1)将变量分离,得......(2)两边积分,得......(3)整理得答案,关键考查我们对不定积分的掌握程度。这是一阶微分方程基础中的基础。

    齐次微分方程,又是固定的做法,変量変换,令 y/x = u,y=ux, dy/dx = u + x du/dx,然后化为可分离变量的方程。

    一阶线性微分方程,我的建议是,齐次情形记公式,非齐次情形使用常数变易法,这样可以避开纯粹记忆长长的公式,做题的时候能够自由呼吸,显得很从容,绝不会比记忆所谓的公式要耗更多的时间。今后我们做专题学习的时候大家会体会到这一点。

    会解二阶常系数齐次线性微分方程,这其实是个很容易的考点,基本上就没有出错的道理,五个独立的练习之后,就可以牢牢地掌握。

   无论是线性代数中的线性方程组,还是线性微分方程,关键词是“线性”,我们研究线性系统通用的方法是:首先研究齐次情形,然后推广至非齐情形,都是这样的,没有例外。对于齐次线性微分方程,它的解构成一个线性空间,即它的解的线性组合仍为该方程的解,这就是所谓的叠加原理。对于非齐线性微分方程而言,它的通解就是与之对应的齐次线性微分方程的通解 + 它自身的某个解(特解),这个性质我们以后在线性方程组那里还会再次碰到。

    前面要求会解二阶常系数齐次线性微分方程,如果齐次项改变为所谓的自由项,在数学理论上我们仍可以由常数变易法给出其解,但这个大家高数里不涉及,说这个主要是想告诉大家,这个所谓的非齐线性微分方程一点也不可怕,妥妥地可以求出其通解。当然当自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数时如何设特解,还需大家稳固地掌握,这里面既不需要你求导数、求积分,也不需要你算极限,都是特征方程之类初等数学的东西,因而其实是挺容易的,但记住要练习。

    差分方程的相关内容,我在5月22日的知识学习中已经讲过,并且也顺带讲解了迄今为止仅有的三道考研真题,这里还是建议大家前往看看,当然这里出题的频率不高,但我想基本的东西还是要知道,防他考研时来个突然袭击。但是不要刻意做难题。

    对于数三的同学而言,微分方程的简单应用主要体现在(1)几何上的应用;(2)经济应用,研究步骤主要是:(1)根据实际问题确定要研究的量之间的关系;(2)根据上述规律列出微分方程;(3)求解;(4)反代回实际问题的条件,得出合乎需要的解。本考点经常和相关知识综合起来出题,但总的来说,只要我们站得住、站得稳,自己不乱,题目都是可以拿下的。


    这样,我们有关数三考试大纲中的高等数学部分的解读全部完毕,其实大家已经发现,如果想太细致,则保证不了进度;如果要往前走,必然要先放过一些小细节。让大家知道考研的时候要考的这些考点都是什么样子,审题的时候有个初步的指向,这个小专题的效果也就算达到了。事实上,我在这里给大家点出来的一些注意事项,加黑的字体,在我的微博答疑中,在这些地方出错的,短短一个多月,不下百人次了!


    最后说三个问题。(1)线性代数和概率统计的大纲解读也肯定会做,应不少同学的要求,我准备以数一为标准来做,但就不再写黑黑的中括号标头了,并且进度可能不会像数三这么快;(2)因为一个重量级的工作要展开,我们要以公认优秀的参考书为蓝本,跟大家一起讲解考点中的知识点,这个工作突出的就是考点和习题,从优秀习题中学习知识,以赛代练。以赛代练最需要一个好的老师把握方向;(3)未来的大概两个星期,我的重心无论如何也要转到期末考试的复习上了,所以考研高数这块,我想即使挤时间都未必能有大段时间跟大家一起学习和复习,可能也包括微博的答疑,在此广而告之。


    但期末事务(期末复习、出试卷、毕业论文、四六级监考)做完之后,我们将更专注更强势地回到我们考研数学的专题之中,希望能对大家有更直接更有效地帮助。


    今天到此为止,再见。Yours  Lee.

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